数学公式集

図形と計量

三角比の定義(1)
右図の直角三角形 $\text{ABC}$ において,
  • $\sin\theta=\dfrac{b}{c}$
  • $\cos\theta=\dfrac{a}{c}$
  • $\tan\theta=\dfrac{b}{a}$
三角比の定義の図
三角比の定義(2)
  • 右の図のように,原点 $\text{O}$ を中心として,点 $(1,\,0)$ を反時計回りに $\theta$ だけ回転した点を $\text{P}$ とすると, 点 $\text{P}$ の座標は,$(\cos\theta,\,\sin\theta)$ となる.
  • また,直線 $\text{OP}$ と直線 $x=1$ の交点を $\text{T}$ とすると,点 $\text{T}$ の座標は,$(1,\,\tan\theta)$ となる.
一般角の三角比
三角比の相互関係
  • $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
  • $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
  • $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
三角比の値
$\theta$$0^\circ$$30^\circ$$45^\circ$$60^\circ$$90^\circ$$120^\circ$$135^\circ$$150^\circ$$180^\circ$
$\sin\theta$$0$$\dfrac{1}{2}$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$\dfrac{1}{2}$$0$
$\cos\theta$$1$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$\dfrac{1}{2}$$0$$-\dfrac{1}{2}$$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$
$\tan\theta$$0$$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$1$$\sqrt{3}$なし$-\sqrt{3}$$-1$$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$$0$
余角・補角の公式など
  • $\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$,$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$,$\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
  • $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$,$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$,$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$
  • $\sin(\theta+90^\circ)=\cos\theta$,$\cos(\theta+90^\circ)=-\sin\theta$,$\tan(\theta+90^\circ)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$
直線の傾き
直線 $y=mx+n$ と $x$ 軸の正方向とのなす角を $\theta$ とすると,$m=\tan\theta$
  • $\triangle\text{ABC}$ において,$\text{AB}=c$,$\text{BC}=a$,$\text{CA}=b$ とし,外接円の半径を $R$, 内接円の半径を $r$, 面積を $S$ とする.  また,$\angle\text{CAB}$,$\angle\text{ABC}$,$\angle\text{BCA}$ をそれぞれ $A$,$B$,$C$ と書く.
正弦定理
  • $2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
  • 正弦定理より,$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$ が成り立つ.
余弦定理(第2余弦定理)
  • $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
  • $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
  • $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
  • $\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$
  • $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
  • $\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
第1余弦定理
  • $a=b\cos C+c\cos B$
  • $b=c\cos A+a\cos C$
  • $c=a\cos B+b\cos A$
第1余弦定理の図
三角形の成立条件(三角不等式)
$a$,$b$,$c$ を正数とする.
「$a$,$b$,$c$ を3辺の長さにもつ三角形が存在する」
$\Longleftrightarrow$ 「$a\lt b+c$ かつ $b\lt c+a$ かつ $c\lt a+b$」
$\Longleftrightarrow$ 「$|\,b-c\,|\lt a\lt b+c$」
三角形の形状
  • $A$ が鋭角 $\Longleftrightarrow$ $\cos A\gt 0$ $\Longleftrightarrow$ $a^2\lt b^2+c^2$
  • $A$ が直角 $\Longleftrightarrow$ $\cos A=0$ $\Longleftrightarrow$ $a^2=b^2+c^2$
  • $A$ が鈍角 $\Longleftrightarrow$ $\cos A\lt 0$ $\Longleftrightarrow$ $a^2\gt b^2+c^2$
角の二等分線と辺の比
$\triangle\text{ABC}$ において,$\angle\text{A}$ の二等分線と辺 $\text{BC}$ との交点を $\text{P}$, $\angle\text{A}$ の外角の二等分線と辺 $\text{BC}$ の延長との交点を $\text{Q}$ とするとき, $$ \text{AB}:\text{AC}=\text{BP}:\text{PC}=\text{BQ}:\text{QC} $$
角の二等分線の公式の図
面積・内接円
\[ S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B=\dfrac{1}{2}r(a+b+c) \]
ヘロンの公式
$2s=a+b+c$ とすると, \[ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]
円に内接する四角形
円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ において,$\angle\text{C}=180^\circ-\angle\text{A}$ より, \[ \cos\angle\text{C}=-\cos\angle\text{A} \] となるので,余弦定理より, \begin{align*} \text{BD}^2&=\text{AB}^2+\text{AD}^2-2\cdot\text{AB}\cdot\text{AD}\cdot\cos\angle\text{A}\\ &=\text{CB}^2+\text{CD}^2+2\cdot\text{CB}\cdot\text{CD}\cdot\cos\angle\text{A} \end{align*}
円に内接する四角形
トレミーの定理
円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ について, \[ \text{AB}\cdot\text{CD}+\text{BC}\cdot\text{DA}=\text{AC}\cdot\text{BD} \]
対角線の交点
円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ の対角線の交点を $\text{E}$ とするとき, \[ \text{AE}:\text{CE}=\text{AB}\cdot\text{AD}:\text{CB}\cdot\text{CD} \]
円に内接する四角形
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