数学公式集 - 図形と計量｜大島学習塾のホームページ

図形と計量

三角比の定義(1)

右図の直角三角形 $\text{ABC}$ において，

$\sin\theta=\dfrac{b}{c}$
$\cos\theta=\dfrac{a}{c}$
$\tan\theta=\dfrac{b}{a}$

三角比の定義(2)

右の図のように，原点 $\text{O}$ を中心として，点 $(1,\,0)$ を反時計回りに $\theta$ だけ回転した点を $\text{P}$ とすると，点 $\text{P}$ の座標は，$(\cos\theta,\,\sin\theta)$ となる．
また，直線 $\text{OP}$ と直線 $x=1$ の交点を $\text{T}$ とすると，点 $\text{T}$ の座標は，$(1,\,\tan\theta)$ となる．

三角比の相互関係

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

三角比の値

$\theta$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$\sin\theta$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\cos\theta$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\tan\theta$	$0$	$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	なし	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

余角・補角の公式など

$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$，$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$，$\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$，$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$，$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$
$\sin(\theta+90^\circ)=\cos\theta$，$\cos(\theta+90^\circ)=-\sin\theta$，$\tan(\theta+90^\circ)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$

直線の傾き

直線 $y=mx+n$ と $x$ 軸の正方向とのなす角を $\theta$ とすると，$m=\tan\theta$

$\triangle\text{ABC}$ において，$\text{AB}=c$，$\text{BC}=a$，$\text{CA}=b$ とし，外接円の半径を $R$，　内接円の半径を $r$，　面積を $S$ とする．　また，$\angle\text{CAB}$，$\angle\text{ABC}$，$\angle\text{BCA}$ をそれぞれ $A$，$B$，$C$ と書く．

正弦定理

$2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$
正弦定理より，$\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c$ が成り立つ．

余弦定理（第２余弦定理）

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$
$\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

第１余弦定理

$a=b\cos C+c\cos B$
$b=c\cos A+a\cos C$
$c=a\cos B+b\cos A$

三角形の成立条件（三角不等式）

$a$，$b$，$c$ を正数とする．
「$a$，$b$，$c$ を3辺の長さにもつ三角形が存在する」
$\Longleftrightarrow$　「$a\lt b+c$ かつ $b\lt c+a$ かつ $c\lt a+b$」
$\Longleftrightarrow$　「$|\,b-c\,|\lt a\lt b+c$」

三角形の形状

$A$ が鋭角　$\Longleftrightarrow$　$\cos A\gt 0$　$\Longleftrightarrow$　$a^2\lt b^2+c^2$
$A$ が直角　$\Longleftrightarrow$　$\cos A=0$　$\Longleftrightarrow$　$a^2=b^2+c^2$
$A$ が鈍角　$\Longleftrightarrow$　$\cos A\lt 0$　$\Longleftrightarrow$　$a^2\gt b^2+c^2$

角の二等分線と辺の比

$\triangle\text{ABC}$ において，$\angle\text{A}$ の二等分線と辺 $\text{BC}$ との交点を $\text{P}$， $\angle\text{A}$ の外角の二等分線と辺 $\text{BC}$ の延長との交点を $\text{Q}$ とするとき， $$ \text{AB}:\text{AC}=\text{BP}:\text{PC}=\text{BQ}:\text{QC} $$

面積・内接円

\[ S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ca\sin B=\dfrac{1}{2}r(a+b+c) \]

ヘロンの公式

$2s=a+b+c$ とすると， \[ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

円に内接する四角形

円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ において，$\angle\text{C}=180^\circ-\angle\text{A}$ より， \[ \cos\angle\text{C}=-\cos\angle\text{A} \] となるので，余弦定理より， \begin{align*} \text{BD}^2&=\text{AB}^2+\text{AD}^2-2\cdot\text{AB}\cdot\text{AD}\cdot\cos\angle\text{A}\\ &=\text{CB}^2+\text{CD}^2+2\cdot\text{CB}\cdot\text{CD}\cdot\cos\angle\text{A} \end{align*}

トレミーの定理

円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ について， \[ \text{AB}\cdot\text{CD}+\text{BC}\cdot\text{DA}=\text{AC}\cdot\text{BD} \]

対角線の交点

円に内接する四角形 $\text{ABCD}$ の対角線の交点を $\text{E}$ とするとき， \[ \text{AE}:\text{CE}=\text{AB}\cdot\text{AD}:\text{CB}\cdot\text{CD} \]