数学公式集

整数 $a$，$b$ $(b\neq 0)$ に対して， \[ a=bq+r\quad (0\leqq r\lt|b|) \] をみたす整数 $q$，$r$ がただ１通りに定まる． このとき，$q$ を $a$ を $b$ で割ったときの商，$r$ を余りという． $r=0$ のとき，$a$ は $b$ で割り切れるという．

• 整数 $a$ が，自然数 $b$ で割り切れるとき，$a$ を $b$ の倍数といい，$b$ を $a$ の約数という．
• ２つ以上の整数に共通な約数をこれらの公約数といい，公約数のうちで最大のものを最大公約数（G.C.D.）という． 公約数はすべて最大公約数の約数である．整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し，これらの最大公約数を，${\rm GCD}(a_1,\ldots,a_n)$ と表す．
• ２つ以上の整数に共通な倍数をこれらの公倍数といい，正の公倍数のうちで最小のものを最小公倍数（L.C.M.）という． 公倍数はすべて最小公倍数の倍数である．整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し，これらの最小公倍数を，${\rm LCM}(a_1,\ldots,a_n)$ と表す．
• ２つの整数 $a$，$b$ の最大公約数が $1$ のとき，$a$ と $b$ は互いに素であるという．
• 2つの自然数 $a$，$b$ の最大公約数を $g$，最小公倍数を $l$ とするとき，
  • $a=g a^\prime$，$b=gb^\prime$（$a^\prime$，$b^\prime$は互いに素）となる $a^\prime$，$b^\prime$ がとれる．
  • $l=g a^\prime b^\prime$，$ab=gl$ が成り立つ．

• $ab$ が $c$ で割り切れ，$a$ と $c$ が互いに素ならば，$b$ は $c$ で割り切れる．
• $c$ が互いに素である2数 $a$，$b$ で割り切れるならば，$c$ は積 $ab$ で割り切れる．
• $a$ と $b$ が互いに素ならば，$a+b$ と $ab$ も互いに素である．

• $2$ 以上の整数 $p$ が，$1$ と $p$ 以外に正の約数をもたないとき，$p$ を素数という．素数は無数に存在する．
• $2$ 以上の整数で素数でないものを合成数という．任意の合成数は，素数の積にただ１通りの方法で表すことができる．これをその数の素因数分解という．
• 自然数 $n$ が $\sqrt{n}$ 以下のすべての素数で割り切れなければ，$n$ は素数となる．逆に言うと，合成数 $n$ は必ず $\sqrt{n}$ 以下の素因数をもつ．

• $1$ は素数でも合成数でもない．また，偶数の素数は $2$ だけである．

以下のような手順で素数を効率的に見つけることができる．この方法をエラトステネスの篩（ふるい）という．例として，$100$ 以下の素数をすべて求めてみる．

1. $1$ は素数でないので×をつける．
2. 残ったなかで最小の数 $2$ は素数である．$2$ 以外の偶数は素数ではないので消す．下の図では偶数は偶数列目にあり，縦線で消してある．
3. 残ったなかで最小の数 $3$ は素数である．$3$ 以外の $3$ の倍数は素数ではないので消す．下の図では $3$ の倍数は斜めに規則正しく並んでおり，斜線で消してある．
4. 残ったなかで最小の数 $5$ は素数である．$5$ 以外の $5$ の倍数は素数ではないので消す．下の図では $10$ の倍数はすでに偶数のところで消されているので，$5$ の下の数を消す．
5. 残ったなかで最小の数 $7$ は素数である．$7$ 以外の $7$ の倍数は素数ではないので消す．まだ消されていない $7$ の倍数は $7\times 7=49$ と $7\times 11=77$ と $7\times 13=91$ の3つである．
6. $\sqrt{100}=10$ なので，$100$ 以下の合成数は必ず $7$ 以下の素因数をもつ．よって，消されずに残った数はすべて素数である．

10000以下の素数（1229個）の一覧です．クリック（タップ）すると開きます．

自然数 $N(\geqq 2)$ が，相異なる素数 $p_i$ と，自然数 $e_i$ $(i=1,\ldots,n)$ を用いて， \[ N=p_1{}^{e_1}p_2{}^{e_2}\,\cdots\,p_n{}^{e_n} \] と素因数分解されるとき，

• $N$ の正の約数の総数は，$(e_1+1)(e_2+1)\,\,\cdots\,\,(e_n+1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(e_k+1)$
• $N$ の正の約数の総和は， \begin{align*} &(1+p_1+p_1{}^2+\cdots+p_1{}^{e_1})(1+p_2+p_2{}^2+\cdots+p_2{}^{e_2})\cdots\cdots\\ &\hphantom{(1+p_1+p_1{}^2+\cdots+p_1{}^{e_1})(1+p_2}\cdots\cdots (1+p_n+p_n{}^2+\cdots+p_n{}^{e_n})\\ &=\textstyle\prod\limits_{k=1}^{n}\Big(\sum\limits_{l=0}^{e_k}p_k{}^l\Big)=\dfrac{p_1{}^{e_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\dfrac{p_2{}^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdot\cdots\cdot\dfrac{p_n{}^{e_n+1}-1}{p_n-1} \end{align*}
• $N$ が平方数となるのは，$e_i$ $(i=1,\ldots,n)$ がすべて偶数であるときであり，そのときに限る．
  特に $N$ が平方数のとき，正の約数の個数は奇数である．
• $N$ の正の約数の個数を $m$ とするとき，$N$ の正の約数の総乗は，$\sqrt{N^m}$ である．

$m$ 個の自然数 $N_1$，$N_2$，$\cdots$，$N_m$ が，素数列 $p_1\lt p_2\lt\cdots\lt p_n$ と非負整数 $e_{i,k}$ を用いて， \[ N_i=p_1{}^{e_{i,1}}p_2{}^{e_{i,2}}\,\cdots\,p_n{}^{e_{i,n}}\quad(i=1,2,\ldots,m) \] と素因数分解されているとする． \[ g_k=\min(e_{1,k},e_{2,k},\ldots,e_{m,k}),\quad l_k=\max(e_{1,k},e_{2,k},\ldots,e_{m,k})\quad(k=1,2,\ldots,n) \] とすると，

• ${\rm GCD}(N_1,N_2,\ldots,N_m)=p_1{}^{g_1}p_2{}^{g_2}\cdots p_n{}^{g_n}$
• ${\rm LCM}(N_1,N_2,\ldots,N_m)=p_1{}^{l_1}p_2{}^{l_2}\cdots p_n{}^{l_n}$

整数 $a$，$b$，$q$，$r$ が，$a=bq+r\,\,(0\leq r\lt|b|)$ を満たすとき， $a$ と $b$ の公約数の全体は，$b$ と $r$ の公約数の全体と一致する． 特に，$a$ と $b$ の最大公約数は $b$ と $r$ の最大公約数に等しい．

• $p$ を $2$ 以上の整数とする．任意の自然数 $N$ は，自然数 $n$ と，$0\leqq a_i\leqq p-1\,\,(i=1,2,\ldots,n)$， $a_n\neq 0$ を満たす自然数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ を用いて， \[ N=a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}+\cdots\cdots +a_{2}p+a_{1} \] とただ1通りに表すことができる．このとき， \[ N=a_{n}a_{n-1}\,\cdots\cdots\, a_2a_{1}{}_{(p)} \] と表し，これを $N$ の $p$ 進法表示（$p$ 進数表示）という．
  • 我々が日常で使っている数は10進法で表されている．数を10進数で表すときは，右下につける $\scriptsize{(10)}$ は普通省略する．
• $p$ 進法で表された数 $N$ を $N=a_{n}a_{n-1}\,\cdots\cdots\, a_2a_1{}_{(p)}$ とする．$N$ を10進法で表すときは， \[ N=a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}+\cdots\cdots +a_{2}p+a_{1} \] を計算すればよい．逆に $p$ 進法表示を得るには，$N$ を $p$ で割ったときの余りを $a_1$ とし，このときの商をさらに $p$ で割ったときの余りを $a_2$ とし，$\cdots\cdots$ を商が $0$ になるまで繰り返す． このようにして得られた自然数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ を用いると， \[ N=a_{n}a_{n-1}\,\cdots\cdots\, a_2a_{1}{}_{(p)} \] と表示される．

自然数を10進法で表したとき，以下の方法で倍数の判定ができる．

• 2の倍数 $\cdots$ 1の位が偶数
• 3の倍数 $\cdots$ 各位の数の和が3の倍数
• 4の倍数 $\cdots$ 下2桁が4の倍数
• 5の倍数 $\cdots$ 1の位が0または5
• 6の倍数 $\cdots$ 2の倍数かつ3の倍数
• 7の倍数 $\cdots$
  １の位から3桁ごとに区切り，奇数番目の数の総和から
  偶数番目の数の総和を引いた値が7の倍数
• 8の倍数 $\cdots$ 下3桁が8の倍数
• 9の倍数 $\cdots$ 各位の数の和が9の倍数
• 10の倍数 $\cdots$ 1の位が0
• 11の倍数 $\cdots$ 奇数番目の位の数の総和から偶数番目の数の総和を引いた値が11の倍数
• 12の倍数 $\cdots$ 4の倍数かつ3の倍数
• 13の倍数 $\cdots$
  １の位から3桁ごとに区切り，奇数番目の数の総和から
  偶数番目の数の総和を引いた値が$13$の倍数

• 7と13の倍数判定は，$1001=7\times 11\times 13$ であることを利用しており，11の倍数かどうかは，7，13と同様の方法でも確かめられる（ただし，上の方法の方が簡単である）．

• 実数 $x$ に対して，$x\geqq m$ となる整数 $m$ のうち最大のものを $[x]$ で表す．
• 正数 $x$ に対して，$[x]$ を $x$ の整数部分という．
• $x=[x]+\alpha\,(0\leqq\alpha\lt 1)$ を満たす $\alpha$ が存在する．これを $x$ の小数部分という．

$n$ を自然数，$m$ を整数とする．

• ${n}$ の階乗 $\cdots$ $n!=n\cdot (n-1)\cdot\cdots\cdot 2\cdot 1$
• 連続する $n$ 個の整数の積 $m\cdot(m+1)\cdot\cdots\cdots\cdot(m+n-1)$ は $n!$ で割り切れる．

$n$ を自然数，$p$ を素数とする．

• $n!$ に含まれる素因数 $p$ の個数は， \[ \bigg[\dfrac{n}{p}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{p^2}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{p^3}\bigg]+\cdots\cdots =\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\bigg[\dfrac{n}{p^k}\bigg] \] ただし，ある項で $\bigg[\dfrac{n}{p^k}\bigg]=0$ となり，その後はすべて $0$ なので，実際の和は有限となる．
• 特に，$n!$ を10進法で表したとき，末尾に並ぶ $0$ の個数は， \[ \bigg[\dfrac{n}{5}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{5^2}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{5^3}\bigg]+\cdots\cdots =\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\bigg[\dfrac{n}{5^k}\bigg] \]

$m$ を $2$ 以上の整数とする．2つの整数 $a$，$b$ に対して，$a-b$ が $m$ で割り切れるとき，$a$ と $b$ は $m$ を法として合同であるといい， \[ a\equiv b \pmod{m} \] と表す．これは，$a$ と $b$ を $m$ で割ったときの余りが等しいことと同値である．

• 合同という関係は同値関係である．すなわち，次の条件をみたす．
  • 反射律： $a\equiv a\pmod{m}$
  • 対称律： $a\equiv b\pmod{m}$ ならば $b\equiv a\pmod{m}$
  • 推移律： $a\equiv b\pmod{m}$，$b\equiv c\pmod{m}$ ならば $a\equiv c\pmod{m}$
• $a\equiv b\pmod{m}$，$c\equiv d\pmod{m}$，$k$ を自然数とするとき，
  • $a+c\equiv b+d\pmod{m}$
  • $a-c\equiv b-d\pmod{m}$
  • $ac\equiv bd\pmod{m}$
  • $a^k\equiv b^k\pmod{m}$
• $ac\equiv bc\pmod{m}$ のとき，
  • $g={\rm GCD}(c,m)$ とすると，$a\equiv b\pmod{m/g}$
  • 特に，${\rm GCD}(c,m)=1$ ならば，$a\equiv b\pmod{m}$
• ${\rm GCD}(m,n)=1$ ならば， \[ a\equiv b\pmod{m}\text{，} a\equiv b\pmod{n}\quad\Longleftrightarrow\quad a\equiv b\pmod{mn} \]

$m$ を $2$ 以上の整数，$a$，$b$ を整数として，合同方程式 $ax\equiv b\pmod{m}\cdots\,(\ast)$ を考える．

• ${\rm GCD}(a,m)=1$ のとき，$(\ast)$ は $m$ を法として唯一つの解をもつ．
• ${\rm GCD}(a,m)=g>1$ とする．
  • $b$ が $g$ の倍数でないとき，$(\ast)$ は解をもたない．
  • $b$ が $g$ の倍数のとき，$(\ast)$ は $m$ を法として $g$ 個の解をもつ．

$m_1$，$m_2$，$\cdots$，$m_n$ を互いに素な $2$ 以上の整数とし，$m=m_{1}m_{2}\cdots m_{n}$ とする．また，$r_1$，$r_2$，$\cdots$，$r_n$ を整数とする．

• $0\leqq r_k\lt m_k\,(k=1$，$\cdots$，$n)$ のとき， \[ \text{「 $x$ を $m_k$ で割ると余りが $r_k$ となる $(k=1$，$\cdots$，$n)$ 」} \] をみたす整数 $x$ が存在し，それは整数 $l$ を用いて， \[ x=ml+r\quad (0\leqq r\lt m) \] と表される．
• 一般に，連立合同式 $x\equiv r_k\pmod{m_k}\,(k=1$，$\cdots$，$n)$ は，$m$ を法として唯一つの解をもつ．

整数全体の集合を $\mathbb{Z}$ で表す．$n$ を $2$ 以上の整数とする．整数 $a$ に対し，集合 \[ C_a=\{nm+a\mid m\in\mathbb{Z}\}=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\equiv a\pmod{n}\} \] を $n$ を法とする $a$ の剰余類といい，$a$ をその代表元という．

• 整数 $a$，$b$ に対し，「 $a\equiv b\pmod{n}$ $\Longleftrightarrow$ $C_a =C_b$ $\Longleftrightarrow$ $C_a\cap C_b\neq\phi$ 」
• $\mathbb{Z}$ の部分集合 $A=\{a_1$，$\cdots$，$a_n\}$ が， \[ \mathbb{Z}=C_{a_1}\cup C_{a_2}\cup\cdots\cup C_{a_{n}},\qquad C_{a_i}\cap C_{a_j}=\phi\,\,(1\leqq i\lt j\leqq n) \] をみたすとき，$A$ を完全代表系という．例えば， \[ A=\text{$\{0$，$1$，$\cdots$，$n-1\}$} \] は完全代表系である．
• $m$ を $n$ と互いに素な整数とする．完全代表系 $A=\{a_1$，$\cdots$，$a_n\}$ に対し，$A$ の各要素に $m$ をかけた集合 \[ mA=\text{$\{ma_1$，$\cdots$，$ma_n\}$} \] も完全体代表系となる．

• 自然数 $n$ 正の約数の総和が $2n$ に等しいとき，$n$ は完全数であるという． 完全数を小さい順に書くと，$6$，$28$，$496$，$8128$，$33550336$，$8589869056$，$\cdots$ である． 「完全数が無数に存在するか？」また「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決問題である．
• $2^p-1$ が素数となるとき，$p$ も素数となるが，そのような素数 $p$ をメルセンヌ数という．メルセンヌ数は現在約50個が知られており， 小さい順に20個を書くと，$2$，$3$，$5$，$7$，$13$，$17$，$19$，$31$，$61$，$89$，$107$，$127$，$521$，$607$，$1279$，$2203$，$2281$，$3217$，$4253$，$4423$ である．
• $p$ がメルセンヌ数のとき，$2^{p-1}(2^p-1)$ は完全数となる．また，偶数の完全数はこの形のものに限る． $p=2$，$3$，$5$，$7$ とすると，順に \begin{align*} 2^{2-1}(2^2-1)&=2\times 3=6,& 2^{3-1}(2^3-1)&=4\times 7=28,\\ 2^{5-1}(2^5-1)&=16\times 31=496,& 2^{7-1}(2^7-1)&=64\times 127=8128 \end{align*} が得られる．