数学公式集

整数

整数の割り算
整数 $a$,$b$ $(b\neq 0)$ に対して, \[ a=bq+r\quad (0\leqq r\lt|b|) \] をみたす整数 $q$,$r$ がただ1通りに定まる. このとき,$q$ を $a$ を $b$ で割ったときの,$r$ を余りという. $r=0$ のとき,$a$ は $b$ で割り切れるという.
倍数と約数
  • 整数 $a$ が,自然数 $b$ で割り切れるとき,$a$ を $b$ の倍数といい,$b$ を $a$ の約数という.
  • 2つ以上の整数に共通な約数をこれらの公約数といい,公約数のうちで最大のものを最大公約数G.C.D.)という. 公約数はすべて最大公約数の約数である.整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し,これらの最大公約数を,${\rm GCD}(a_1,\ldots,a_n)$ と表す.
  • 2つ以上の整数に共通な倍数をこれらの公倍数といい,正の公倍数のうちで最小のものを最小公倍数L.C.M.)という. 公倍数はすべて最小公倍数の倍数である.整数 $a_1,\ldots,a_n$ に対し,これらの最小公倍数を,${\rm LCM}(a_1,\ldots,a_n)$ と表す.
  • 2つの整数 $a$,$b$ の最大公約数が $1$ のとき,$a$ と $b$ は互いに素であるという.
  • 2つの自然数 $a$,$b$ の最大公約数を $g$,最小公倍数を $l$ とするとき,
    • $a=g a^\prime$,$b=gb^\prime$($a^\prime$,$b^\prime$は互いに素)となる $a^\prime$,$b^\prime$ がとれる.
    • $l=g a^\prime b^\prime$,$ab=gl$ が成り立つ.
整除に関する定理
  • $ab$ が $c$ で割り切れ,$a$ と $c$ が互いに素ならば,$b$ は $c$ で割り切れる.
  • $c$ が互いに素である2数 $a$,$b$ で割り切れるならば,$c$ は積 $ab$ で割り切れる.
  • $a$ と $b$ が互いに素ならば,$a+b$ と $ab$ も互いに素である.
素数
  • $2$ 以上の整数 $p$ が,$1$ と $p$ 以外に正の約数をもたないとき,$p$ を素数という.素数は無数に存在する.
  • $2$ 以上の整数で素数でないものを合成数という.任意の合成数は,素数の積にただ1通りの方法で表すことができる.これをその数の素因数分解という.
  • 自然数 $n$ が $\sqrt{n}$ 以下のすべての素数で割り切れなければ,$n$ は素数となる.逆に言うと,合成数 $n$ は必ず $\sqrt{n}$ 以下の素因数をもつ.
  • $1$ は素数でも合成数でもない.また,偶数の素数は $2$ だけである.
エラトステネスのふるい
以下のような手順で素数を効率的に見つけることができる.この方法をエラトステネスの篩(ふるい)という.例として,$100$ 以下の素数をすべて求めてみる.
  1. $1$ は素数でないので×をつける.
  2. 残ったなかで最小の数 $2$ は素数である.$2$ 以外の偶数は素数ではないので消す.下の図では偶数は偶数列目にあり,縦線で消してある.
  3. 残ったなかで最小の数 $3$ は素数である.$3$ 以外の $3$ の倍数は素数ではないので消す.下の図では $3$ の倍数は斜めに規則正しく並んでおり,斜線で消してある.
  4. 残ったなかで最小の数 $5$ は素数である.$5$ 以外の $5$ の倍数は素数ではないので消す.下の図では $10$ の倍数はすでに偶数のところで消されているので,$5$ の下の数を消す.
  5. 残ったなかで最小の数 $7$ は素数である.$7$ 以外の $7$ の倍数は素数ではないので消す.まだ消されていない $7$ の倍数は $7\times 7=49$ と $7\times 11=77$ と $7\times 13=91$ の3つである.
  6. $\sqrt{100}=10$ なので,$100$ 以下の合成数は必ず $7$ 以下の素因数をもつ.よって,消されずに残った数はすべて素数である.
エラトステネスのふるい
素数表
10000以下の素数(1229個)の一覧です.クリック(タップ)すると開きます.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
547 557 563 569 571 577 587 593 599 601
607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733
739 743 751 757 761 769 773 787 797 809
811 821 823 827 829 839 853 857 859 863
877 881 883 887 907 911 919 929 937 941
947 953 967 971 977 983 991 99710091013
1019102110311033103910491051106110631069
1087109110931097110311091117112311291151
1153116311711181118711931201121312171223
1229123112371249125912771279128312891291
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3259327132993301330733133319332333293331
3343334733593361337133733389339134073413
3433344934573461346334673469349134993511
3517352735293533353935413547355735593571
3581358335933607361336173623363136373643
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4153415741594177420142114217421942294231
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4421442344414447445144574463448144834493
4507451345174519452345474549456145674583
4591459746034621463746394643464946514657
4663467346794691470347214723472947334751
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4861487148774889490349094919493149334937
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5099510151075113511951475153516751715179
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6311631763236329633763436353635963616367
6373637963896397642164276449645164696473
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6577658165996607661966376653665966616673
6679668966916701670367096719673367376761
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7109712171277129715171597177718771937207
7211721372197229723772437247725372837297
7307730973217331733373497351736973937411
7417743374517457745974777481748774897499
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7841785378677873787778797883790179077919
7927793379377949795179637993800980118017
8039805380598069808180878089809381018111
8117812381478161816781718179819182098219
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9643964996619677967996899697971997219733
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9817982998339839985198579859987198839887
990199079923992999319941994999679973
約数の個数と総和・総乗
自然数 $N(\geqq 2)$ が,相異なる素数 $p_i$ と,自然数 $e_i$ $(i=1,\ldots,n)$ を用いて, \[ N=p_1{}^{e_1}p_2{}^{e_2}\,\cdots\,p_n{}^{e_n} \] と素因数分解されるとき,
  • $N$ の正の約数の総数は,$(e_1+1)(e_2+1)\,\,\cdots\,\,(e_n+1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(e_k+1)$
  • $N$ の正の約数の総和は, \begin{align*} &(1+p_1+p_1{}^2+\cdots+p_1{}^{e_1})(1+p_2+p_2{}^2+\cdots+p_2{}^{e_2})\cdots\cdots\\ &\hphantom{(1+p_1+p_1{}^2+\cdots+p_1{}^{e_1})(1+p_2}\cdots\cdots (1+p_n+p_n{}^2+\cdots+p_n{}^{e_n})\\ &=\textstyle\prod\limits_{k=1}^{n}\Big(\sum\limits_{l=0}^{e_k}p_k{}^l\Big)=\dfrac{p_1{}^{e_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\dfrac{p_2{}^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdot\cdots\cdot\dfrac{p_n{}^{e_n+1}-1}{p_n-1} \end{align*}
  • $N$ が平方数となるのは,$e_i$ $(i=1,\ldots,n)$ がすべて偶数であるときであり,そのときに限る.
    特に $N$ が平方数のとき,正の約数の個数は奇数である.
  • $N$ の正の約数の個数を $m$ とするとき,$N$ の正の約数の総乗は,$\sqrt{N^m}$ である.
最大公約数と最小公倍数
$m$ 個の自然数 $N_1$,$N_2$,$\cdots$,$N_m$ が,素数列 $p_1\lt p_2\lt\cdots\lt p_n$ と非負整数 $e_{i,k}$ を用いて, \[ N_i=p_1{}^{e_{i,1}}p_2{}^{e_{i,2}}\,\cdots\,p_n{}^{e_{i,n}}\quad(i=1,2,\ldots,m) \] と素因数分解されているとする. \[ g_k=\min(e_{1,k},e_{2,k},\ldots,e_{m,k}),\quad l_k=\max(e_{1,k},e_{2,k},\ldots,e_{m,k})\quad(k=1,2,\ldots,n) \] とすると,
  • ${\rm GCD}(N_1,N_2,\ldots,N_m)=p_1{}^{g_1}p_2{}^{g_2}\cdots p_n{}^{g_n}$
  • ${\rm LCM}(N_1,N_2,\ldots,N_m)=p_1{}^{l_1}p_2{}^{l_2}\cdots p_n{}^{l_n}$
ユークリッドの互除法
整数 $a$,$b$,$q$,$r$ が,$a=bq+r\,\,(0\leq r\lt|b|)$ を満たすとき, $a$ と $b$ の公約数の全体は,$b$ と $r$ の公約数の全体と一致する. 特に,$a$ と $b$ の最大公約数は $b$ と $r$ の最大公約数に等しい.
記数法
  • $p$ を $2$ 以上の整数とする.任意の自然数 $N$ は,自然数 $n$ と,$0\leqq a_i\leqq p-1\,\,(i=1,2,\ldots,n)$, $a_n\neq 0$ を満たす自然数列 $a_1$,$a_2$,$\cdots$,$a_n$ を用いて, \[ N=a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}+\cdots\cdots +a_{2}p+a_{1} \] とただ1通りに表すことができる.このとき, \[ N=a_{n}a_{n-1}\,\cdots\cdots\, a_2a_{1}{}_{(p)} \] と表し,これを $N$ の $p$ 進法表示($p$ 進数表示)という.
    • 我々が日常で使っている数は10進法で表されている.数を10進数で表すときは,右下につける $\scriptsize{(10)}$ は普通省略する.
  • $p$ 進法で表された数 $N$ を $N=a_{n}a_{n-1}\,\cdots\cdots\, a_2a_1{}_{(p)}$ とする.$N$ を10進法で表すときは, \[ N=a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}p^{n-2}+\cdots\cdots +a_{2}p+a_{1} \] を計算すればよい.逆に $p$ 進法表示を得るには,$N$ を $p$ で割ったときの余りを $a_1$ とし,このときの商をさらに $p$ で割ったときの余りを $a_2$ とし,$\cdots\cdots$ を商が $0$ になるまで繰り返す. このようにして得られた自然数列 $a_1$,$a_2$,$\cdots$,$a_n$ を用いると, \[ N=a_{n}a_{n-1}\,\cdots\cdots\, a_2a_{1}{}_{(p)} \] と表示される.
倍数の判定法
自然数を10進法で表したとき,以下の方法で倍数の判定ができる.
  • 2の倍数 $\cdots$ 1の位が偶数
  • 3の倍数 $\cdots$ 各位の数の和が3の倍数
  • 4の倍数 $\cdots$ 下2桁が4の倍数
  • 5の倍数 $\cdots$ 1の位が0または5
  • 6の倍数 $\cdots$ 2の倍数かつ3の倍数
  • 7の倍数 $\cdots$
    1の位から3桁ごとに区切り,奇数番目の数の総和から
    偶数番目の数の総和を引いた値が7の倍数
  • 8の倍数 $\cdots$ 下3桁が8の倍数
  • 9の倍数 $\cdots$ 各位の数の和が9の倍数
  • 10の倍数 $\cdots$ 1の位が0
  • 11の倍数 $\cdots$ 奇数番目の位の数の総和から偶数番目の数の総和を引いた値が11の倍数
  • 12の倍数 $\cdots$ 4の倍数かつ3の倍数
  • 13の倍数 $\cdots$
    1の位から3桁ごとに区切り,奇数番目の数の総和から
    偶数番目の数の総和を引いた値が$13$の倍数
  • 7と13の倍数判定は,$1001=7\times 11\times 13$ であることを利用しており,11の倍数かどうかは,7,13と同様の方法でも確かめられる(ただし,上の方法の方が簡単である).
ガウス記号
  • 実数 $x$ に対して,$x\geqq m$ となる整数 $m$ のうち最大のものを $[x]$ で表す.
  • 正数 $x$ に対して,$[x]$ を $x$ の整数部分という.
  • $x=[x]+\alpha\,(0\leqq\alpha\lt 1)$ を満たす $\alpha$ が存在する.これを $x$ の小数部分という.
階乗
$n$ を自然数,$m$ を整数とする.
  • ${n}$ の階乗 $\cdots$ $n!=n\cdot (n-1)\cdot\cdots\cdot 2\cdot 1$
  • 連続する $n$ 個の整数の積 $m\cdot(m+1)\cdot\cdots\cdots\cdot(m+n-1)$ は $n!$ で割り切れる.
素因数の個数
$n$ を自然数,$p$ を素数とする.
  • $n!$ に含まれる素因数 $p$ の個数は, \[ \bigg[\dfrac{n}{p}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{p^2}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{p^3}\bigg]+\cdots\cdots =\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\bigg[\dfrac{n}{p^k}\bigg] \] ただし,ある項で $\bigg[\dfrac{n}{p^k}\bigg]=0$ となり,その後はすべて $0$ なので,実際の和は有限となる.
  • 特に,$n!$ を10進法で表したとき,末尾に並ぶ $0$ の個数は, \[ \bigg[\dfrac{n}{5}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{5^2}\bigg]+\bigg[\dfrac{n}{5^3}\bigg]+\cdots\cdots =\textstyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\bigg[\dfrac{n}{5^k}\bigg] \]
合同式
$m$ を $2$ 以上の整数とする.2つの整数 $a$,$b$ に対して,$a-b$ が $m$ で割り切れるとき,$a$ と $b$ は $m$ をとして合同であるといい, \[ a\equiv b \pmod{m} \] と表す.これは,$a$ と $b$ を $m$ で割ったときの余りが等しいことと同値である.
  • 合同という関係は同値関係である.すなわち,次の条件をみたす.
    • 反射律: $a\equiv a\pmod{m}$
    • 対称律: $a\equiv b\pmod{m}$ ならば $b\equiv a\pmod{m}$
    • 推移律: $a\equiv b\pmod{m}$,$b\equiv c\pmod{m}$ ならば $a\equiv c\pmod{m}$
  • $a\equiv b\pmod{m}$,$c\equiv d\pmod{m}$,$k$ を自然数とするとき,
    • $a+c\equiv b+d\pmod{m}$
    • $a-c\equiv b-d\pmod{m}$
    • $ac\equiv bd\pmod{m}$
    • $a^k\equiv b^k\pmod{m}$
  • $ac\equiv bc\pmod{m}$ のとき,
    • $g={\rm GCD}(c,m)$ とすると,$a\equiv b\pmod{m/g}$
    • 特に,${\rm GCD}(c,m)=1$ ならば,$a\equiv b\pmod{m}$
  • ${\rm GCD}(m,n)=1$ ならば, \[ a\equiv b\pmod{m}\text{,} a\equiv b\pmod{n}\quad\Longleftrightarrow\quad a\equiv b\pmod{mn} \]
合同方程式
$m$ を $2$ 以上の整数,$a$,$b$ を整数として,合同方程式 $ax\equiv b\pmod{m}\cdots\,(\ast)$ を考える.
  • ${\rm GCD}(a,m)=1$ のとき,$(\ast)$ は $m$ を法として唯一つの解をもつ.
  • ${\rm GCD}(a,m)=g>1$ とする.
    • $b$ が $g$ の倍数でないとき,$(\ast)$ は解をもたない.
    • $b$ が $g$ の倍数のとき,$(\ast)$ は $m$ を法として $g$ 個の解をもつ.
中国剰余定理
$m_1$,$m_2$,$\cdots$,$m_n$ を互いに素な $2$ 以上の整数とし,$m=m_{1}m_{2}\cdots m_{n}$ とする.また,$r_1$,$r_2$,$\cdots$,$r_n$ を整数とする.
  • $0\leqq r_k\lt m_k\,(k=1$,$\cdots$,$n)$ のとき, \[ \text{「 $x$ を $m_k$ で割ると余りが $r_k$ となる $(k=1$,$\cdots$,$n)$ 」} \] をみたす整数 $x$ が存在し,それは整数 $l$ を用いて, \[ x=ml+r\quad (0\leqq r\lt m) \] と表される.
  • 一般に,連立合同式 $x\equiv r_k\pmod{m_k}\,(k=1$,$\cdots$,$n)$ は,$m$ を法として唯一つの解をもつ.
剰余類
整数全体の集合を $\mathbb{Z}$ で表す.$n$ を $2$ 以上の整数とする.整数 $a$ に対し,集合 \[ C_a=\{nm+a\mid m\in\mathbb{Z}\}=\{x\in\mathbb{Z}\mid x\equiv a\pmod{n}\} \] を $n$ を法とする $a$ の剰余類といい,$a$ をその代表元という.
  • 整数 $a$,$b$ に対し,「 $a\equiv b\pmod{n}$ $\Longleftrightarrow$ $C_a =C_b$ $\Longleftrightarrow$ $C_a\cap C_b\neq\phi$ 」
  • $\mathbb{Z}$ の部分集合 $A=\{a_1$,$\cdots$,$a_n\}$ が, \[ \mathbb{Z}=C_{a_1}\cup C_{a_2}\cup\cdots\cup C_{a_{n}},\qquad C_{a_i}\cap C_{a_j}=\phi\,\,(1\leqq i\lt j\leqq n) \] をみたすとき,$A$ を完全代表系という.例えば, \[ A=\text{$\{0$,$1$,$\cdots$,$n-1\}$} \] は完全代表系である.
  • $m$ を $n$ と互いに素な整数とする.完全代表系 $A=\{a_1$,$\cdots$,$a_n\}$ に対し,$A$ の各要素に $m$ をかけた集合 \[ mA=\text{$\{ma_1$,$\cdots$,$ma_n\}$} \] も完全体代表系となる.
完全数
  • 自然数 $n$ 正の約数の総和が $2n$ に等しいとき,$n$ は完全数であるという. 完全数を小さい順に書くと,$6$,$28$,$496$,$8128$,$33550336$,$8589869056$,$\cdots$ である. 「完全数が無数に存在するか?」また「奇数の完全数は存在するか?」という問題は未解決問題である.
  • $2^p-1$ が素数となるとき,$p$ も素数となるが,そのような素数 $p$ をメルセンヌ数という.メルセンヌ数は現在約50個が知られており, 小さい順に20個を書くと,$2$,$3$,$5$,$7$,$13$,$17$,$19$,$31$,$61$,$89$,$107$,$127$,$521$,$607$,$1279$,$2203$,$2281$,$3217$,$4253$,$4423$ である.
  • $p$ がメルセンヌ数のとき,$2^{p-1}(2^p-1)$ は完全数となる.また,偶数の完全数はこの形のものに限る. $p=2$,$3$,$5$,$7$ とすると,順に \begin{align*} 2^{2-1}(2^2-1)&=2\times 3=6,& 2^{3-1}(2^3-1)&=4\times 7=28,\\ 2^{5-1}(2^5-1)&=16\times 31=496,& 2^{7-1}(2^7-1)&=64\times 127=8128 \end{align*} が得られる.
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