数と式
数の分類
分類 | 例 | ||||
---|---|---|---|---|---|
複素数 | 実数 | 有理数 | 整数 | 自然数 | 1,2,3,⋯ |
0 , 負の整数 | 0,−1,−2,−3,⋯ | ||||
有限小数 | 12=0.5,3740=0.925 | ||||
循環小数 | 311=0.272727⋯=0.˙2˙7 | ||||
無理数(循環しない無限小数) | √2=1.4142⋯,π=3.1415⋯ | ||||
虚数 | i=√−1,ω=−1±√3i2 |
指数法則
a,b を実数,m,n を自然数とする.
- an=a⋅a⋅⋯⋅a⏟n 個
- a1=a
- a0=1
- aman=am+n
- (am)n=amn
- (ab)n=anbn
展開・因数分解の公式
- (a±b)2=a2±2ab+b2
- (a+b)(a−b)=a2−b2
- (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
- (a±b)(a2∓ab+b2)=a3±b3
- (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
- (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
- (a2+ab+b2)(a2−ab+b2)=a4+a2b2+b4
- (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) =a3+b3+c3−3abc
有名な恒等式
- a2+b2=(a+b)2−2ab
- (a−b)2=(a+b)2−4ab
- a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)
- a2+b2+c2−ab−bc−ca=12{(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2}
- (a+b+c)(ab+bc+ca)−abc=(a+b)(b+c)(c+a)
- a2(b−c)+b2(c−a)+c2(a−b)=−(a−b)(b−c)(c−a)
- a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)
- a3+b3+c3=(a+b+c)3−3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc
絶対値
a は実数とする.
- |a|={a(a≧0 のとき)−a(a<0 のとき)
- A√a2=|a|
絶対値を含む方程式・不等式
c>0 のとき,
- 方程式 |x|=c の解は,x=±c
- 不等式 |x|<c の解は,−c<x<c
- 不等式 |x|>c の解は,x<−c , c<x
2重根号
p=a+b,q=ab(a≧b>0)のとき,
√p±2√q=√a±2√ab+b=√(√a±√b)2=√a±√b
√p±2√q=√a±2√ab+b=√(√a±√b)2=√a±√b