数学公式集

分類					例
複素数	実数	有理数	整数	自然数	$1, 2, 3,\cdots$
				$\bf{0}$ , 負の整数	$0, -1, -2, -3,\cdots$
			有限小数		$\dfrac12=0.5,\, \dfrac{37}{40}=0.925$
			循環小数		$\dfrac{3}{11}=0.272727\cdots=0.\smash[t]{\dot{2}\dot{7}}$
		無理数（循環しない無限小数）			$\sqrt{2}=1.4142\cdots,\, \pi=3.1415\cdots$
	虚数				$i=\sqrt{-1},\, \omega=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$

$a$，$b$ を実数，$m$，$n$ を自然数とする．

• $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\cdots\cdot a}_{\text{$n$ 個}}$
• $a^1=a$
• $a^0=1$
• $a^m a^n=a^{m+n}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n b^n$

• $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

• $(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$
• $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$
• $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$
• $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
• $(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=a^4+a^2b^2+b^4$
• $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ $=a^3+b^3+c^3-3abc$

• $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
• $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$

• $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$
• $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\displaystyle\frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$
• $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)$
• $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)$
• $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$
• $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$

$a$ は実数とする．

• $|a|=\left\{\begin{array}{l@{}l} a & \text{（$a\geqq 0$ のとき）} \\ -a & \text{（$a<0$ のとき）} \end{array}\right.$
• $\vphantom{A}\sqrt{a^2}=|a|$

$c>0$ のとき，

• 方程式 $|x|=c$ の解は，$x=\pm\,c$
• 不等式 $|x| < c $ の解は，$-c < x < c$
• 不等式 $|x|>c $ の解は，$x < -c$ ， $c < x$

$p=a+b$，$q=ab$（$a\geqq b>0$）のとき，
$\sqrt{p\pm 2\sqrt{q}}=\sqrt{a\pm 2\sqrt{ab}+b}=\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$