数学公式集

$p$，$q$ を実数，$k$，$l$ を正数とする．$xy$ 平面において，
点 $(a,\,\,b)$ を，

• $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動 $\longrightarrow$ $(a+p,\,\,b+q)$
• $x$ 軸に関して対称移動 $\longrightarrow$ $(a,\,-b)$
• $y$ 軸に関して対称移動 $\longrightarrow$ $(-a,\,\,b)$
• 原点に関して対称移動 $\longrightarrow$ $(-a,\,\,-b)$
• $x$ 軸方向に $k$ 倍，$y$ 軸方向に $l$ 倍に拡大 $\longrightarrow$ $(ka,\,\,lb)$

関数 $y=f(x)$ のグラフを，

• $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動 $\longrightarrow$ $y-q=f(x-p)$
• $x$ 軸に関して対称移動 $\longrightarrow$ $-y=f(x)$
• $y$ 軸に関して対称移動 $\longrightarrow$ $y=f(-x)$
• 原点に関して対称移動 $\longrightarrow$ $-y=f(-x)$
• $x$ 軸方向に $k$ 倍，$y$ 軸方向に $l$ 倍に拡大 $\longrightarrow$ $\displaystyle\frac{y}{l}=f\Big(\frac{x}{k}\Big)$

• 2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフは放物線となり，$a\gt 0$ ならば下に凸，$a\lt 0$ ならば上に凸となる．
• 2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフは，$y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線であり，頂点は$(p,\,\,q)$，軸の方程式は $x=p$ となる．
• 2次関数 $y=ax^2+bx+c$ について，右辺を平方完成すると， \[ y=a\left\{x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right\}^2-\frac{b^2-4ac}{4a} \] より，頂点は $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\,\,-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)$，軸の方程式は $\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ となる．

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は， \[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] 特に，$ax^2+2b^\prime x+c=0$ のときの解は， \[ x=\frac{-b^\prime\pm\sqrt{b^{\prime\,2}-ac}}{a} \]

2次方程式 $ax^2+bx+c=0\,\,\cdots(\ast)$ に対し，$D=b^2-4ac$ とおく．

• $D\gt 0$ $\Longleftrightarrow$ $(\ast)$ が異なる2つの実数解をもつ
• $D=0$ $\Longleftrightarrow$ $(\ast)$ が実数の重解をもつ
• $D\lt 0$ $\Longleftrightarrow$ $(\ast)$ が実数解をもたない（異なる2つの虚数解をもつ）

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ に対し，$D=b^2-4ac$ とおく．

• $D\gt 0$ のとき，$y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と異なる2交点をもつ．
• $D=0$ のとき，$y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と頂点で接する．
• $D\lt 0$ のとき，$y=ax^2+bx+c$ のグラフは $x$ 軸と共有点をもたない．

$a>0$ とし，2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D=b^2-4ac$ とする．

• $D\gt 0$ のとき，$ax^2+bx+c=0$ の解を $x=\alpha$，$\beta$（ $\alpha\lt\beta$ ） とすると，
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\geqq 0$ の解は「$x\leqq\alpha,\,\beta\leqq x$」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\leqq 0$ の解は「$\alpha\leqq x\leqq\beta$」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\gt 0$ の解は「$x\lt\alpha,\,\beta\lt x$」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ の解は「$\alpha\lt x\lt\beta$」
• $D=0$ のとき，$ax^2+bx+c=0$ の解を $x=\alpha$ （重解）とすると，
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\geqq 0$ の解は「すべての実数」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\leqq 0$ の解は「 $x=\alpha$ 」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\gt 0$ の解は「 $\alpha$ 以外のすべての実数」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ の解は「なし」
• $D\lt 0$ のとき，
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\geqq 0$ の解は「すべての実数」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\leqq 0$ の解は「なし」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\gt 0$ の解は「すべての実数」
  • 2次不等式 $ax^2+bx+c\lt 0$ の解は「なし」