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4次方程式の解の公式 ~ フェラーリの公式
2020年12月1日
以前,3次方程式の解の公式について書きました:

3次方程式の解の公式 ~ カルダノの公式 »

その記事の中で,カルダノの弟子のフェラーリが4次方程式の解の公式を発見したことについて触れました。
今回の記事では,そのフェラーリが発見した4次方程式の解の公式をご紹介しようと思います!!

方程式を簡単にする

それでは4次方程式の解の公式の計算を始めましょう!
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\,\,(a\neq 0)\quad\cdots\,(1) \]
という4次方程式を考えます。$a$,$b$,$c$,$d$,$e$ はすべて複素数とします。
まずは,方程式を簡単にしていきます。
$x^4$ の係数を $1$ にするために,両辺を $a\,(\neq 0)$ で割って,
\[ x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0 \]
次に,$x^3$ の項を消去するために $x=y-\frac{b}{4a}$ と変換します。
このへんの流れは,3次方程式の場合と同じですね^^
\begin{align*} &x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}\\[5pt] =\,&\bigg(y-\frac{b}{4a}\bigg)^4+\frac{b}{a}\bigg(y-\frac{b}{4a}\bigg)^3+\frac{c}{a}\bigg(y-\frac{b}{4a}\bigg)^2+\frac{d}{a}\bigg(y-\frac{b}{4a}\bigg)+\frac{e}{a}\\[5pt] =\,&y^4-\frac{b}{a}y^3+\frac{3b^2}{8a^2}y^2-\frac{b^3}{16a^3}y+\frac{b^4}{256a^4}+\frac{b}{a}\bigg(y^3-\frac{3b}{4a}y^2+\frac{3b^2}{16a^2}y-\frac{b^3}{64a^3}\bigg)+\frac{c}{a}\bigg(y^2-\frac{b}{2a}y+\frac{b^2}{16a^2}\bigg)+\frac{d}{a}\bigg(y-\frac{b}{4a}\bigg)+\frac{e}{a}\\[5pt] =\,&y^4-\frac{b}{a}y^3+\frac{3b^2}{8a^2}y^2-\frac{b^3}{16a^3}y+\frac{b^4}{256a^4}+\frac{b}{a}y^3-\frac{3b^2}{4a^2}y^2+\frac{3b^3}{16a^3}y-\frac{b^4}{64a^4}+\frac{c}{a}y^2-\frac{bc}{2a^2}y+\frac{b^2c}{16a^3}+\frac{d}{a}y-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a}\\[5pt] =\,&y^4-\frac{3b^2}{8a^2}y^2+\frac{c}{a}y^2+\frac{b^3}{8a^3}y-\frac{bc}{2a^2}y+\frac{d}{a}y-\frac{3b^4}{256a^4}+\frac{b^2c}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a}\\[5pt] =\,&y^4+\bigg(-\frac{3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a}\bigg)y^2+\bigg(\frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a}\bigg)y-\frac{3b^4}{256a^4}+\frac{b^2c}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a} \end{align*}
となるので,
\begin{align*} p&=-\frac{3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a}=\frac{8ac-3b^2}{8a^2},\\[5pt] q&=\frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a}=\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3},\\[5pt] r&=-\frac{3b^4}{256a^4}+\frac{b^2c}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a}=\frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4} \end{align*}
とおくと,元の方程式は,
\[ y^4+py^2+qy+r=0\quad\cdots\,(2) \]
と表されます。
狙い通り,3次の項が無くなりましたね^^♪

ここで,方程式 $(2)$ において,$q=0$ の場合を考えます:
\[ y^4+py^2+r=0 \]
これは $y^2$ についての2次方程式(複2次方程式)なので,2次方程式の解の公式を使って,
\[ y^2=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4r}}{2} \]
であり,両辺の平方根をとって,
\[ y=\pm\sqrt{\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4r}}{2}} \]
を得ます。プラスマイナスの取り方で4種類の式が得られており,方程式 $(2)$ の4つの解が得られたことになります。
このように,$q=0$ だと問題が簡単になるので,以下では $q\neq 0$ を仮定します。

方程式 $(2)$ を,$(\text{$y$ の 2 次式})^2=(\text{$y$ の 1 次式})^2$ の形に変形するため,
\[ y^4=-py^2-qy-r \]
の両辺に形式的に $ty^2+\frac{t^2}{4}$ という式を加えてみます($t$ は後で決定します):
\[ y^4+ty^2+\frac{t^2}{4}=(t-p)y^2-qy+\frac{t^2}{4}-r \]
$t-p\neq 0$ として,両辺を平方完成すると,
\[ \bigg(y^2+\frac{t}{2}\bigg)^2=(t-p)\bigg\{y-\frac{q}{2(t-p)}\bigg\}^2-\frac{q^2}{4(t-p)}+\frac{t^2}{4}-r\quad\cdots\,(3) \]
となります。ここで,先ほど導入した $t$ を,
\[ -\frac{q^2}{4(t-p)}+\frac{t^2}{4}-r=0\quad\cdots\,(4) \]
が成り立つようにとることを考えます(左辺は平方完成で出てきたシッポの部分です)。
$(4)$ を $t$ について整理すると,
\[ t^3-pt^2-4rt+4pr-q^2=0\quad\cdots\,(5) \]
となりますが,これは $t$ についての3次方程式なので,カルダノの公式を使って解くことができます(方程式 $(5)$ を,3次分解方程式と呼びます)。
方程式$(5)$ で,$t=p$ とすると,$(\text{左辺})=-q^2$ となりますが,$q\neq 0$ を仮定しているので,$t=p$ は方程式 $(5)$ の解ではありません。
方程式 $(5)$ の解の1つを $t_0$ とすると,$t_0\neq p$ であり,式 $(3)$ は,
\[ \bigg(y^2+\frac{t_0}{2}\bigg)^2=(t_0-p)\bigg\{y-\frac{q}{2(t_0-p)}\bigg\}^2 \]
と,シッポの部分がうまく消えて両辺が2乗の形になります。
両辺の平方根をとって整理すると,
\[ y^2+\frac{t_0}{2}=\pm\bigg(\sqrt{t_0-p}\,y-\frac{q}{2\sqrt{t_0-p}}\bigg) \]
となります。
  • ここで,根号について1つ約束を決めます。複素数 $z$ に対し,2乗すると $z$ になるような複素数の1つを $\sqrt{z}$ と書き,上の式の $\sqrt{t_0-p}$ のように同じ記号が2か所以上現れるときは,それらは同じ数を表していることとします。
上の式のプラスとマイナスの式をそれぞれ整理して,2つの2次方程式
\begin{align*} &\,y^2+\sqrt{t_0-p}\,y+\frac{t_0}{2}-\frac{q}{2\sqrt{t_0-p}}=0\\[5pt] &\,y^2-\sqrt{t_0-p}\,y+\frac{t_0}{2}+\frac{q}{2\sqrt{t_0-p}}=0 \end{align*}
が得られます。
2次方程式の解の公式を使ってこれらを解くと,
\begin{align*} y&=\frac{1}{2}\Bigg(-\sqrt{t_0-p}\pm\sqrt{-t_0-p+\frac{2q}{\sqrt{t_0-p}}}\Bigg)\\[5pt] y&=\frac{1}{2}\Bigg(\sqrt{t_0-p}\pm\sqrt{-t_0-p-\frac{2q}{\sqrt{t_0-p}}}\Bigg) \end{align*}
となり,方程式 $(2)$ の4つの解が得られたことになります。
$x=y-\frac{b}{4a}$であったことから,元の方程式 $(1)$ の解は,
\begin{align*} \begin{array}{l} \displaystyle x=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg(-\sqrt{t_0-p}\pm\sqrt{-t_0-p+\frac{2q}{\sqrt{t_0-p}}}\Bigg)\\[5pt] \displaystyle x=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg(\sqrt{t_0-p}\pm\sqrt{-t_0-p-\frac{2q}{\sqrt{t_0-p}}}\Bigg) \end{array}\quad\cdots\,(6) \end{align*}
となります。
これで,($q\neq 0$ の場合に)解を得ることができました^^♪
以下,$(6)$ をより「解の公式らしく」するために,3次分解方程式の解 $t$ の正体に迫っていきます!

3次分解方程式

3次分解方程式
\[ t^3-pt^2-4rt+4pr-q^2=0\quad\cdots\,(5) \]
カルダノの公式を使って解きます。
解は(とても長いですが^^;)次のようになります:
\begin{align*} t_0&=\frac{p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ &\quad+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ t_1&=\frac{p}{3}+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ &\quad+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ t_2&=\frac{p}{3}+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ &\quad+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}} \end{align*}
ただし,立方根は
\[ \sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}=\frac{p^2+12r}{9} \]
を満たすものをとることにします。
$q\neq 0$ のとき,この3つの解はいずれも $p$ と一致しないので,どれをとっても大丈夫です。
以下,$t_0$ を採用して解の公式の計算を進めていきます。

$a$,$b$,$c$,$d$,$e$ で表す

3次分解方程式にカルダノの公式を適用して得られた $t_0$ を,$(6)$ に代入します。
…ご想像通り,ものすごく長い式です^^;
\begin{align*} x_1&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[-\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad+\Bigg\{-\frac{4p}{3}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ &\quad+2q\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg]\\ x_2&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[-\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad-\Bigg\{-\frac{4p}{3}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ &\quad+2q\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg]\\ x_3&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad+\Bigg\{-\frac{4p}{3}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ &\quad-2q\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg]\\ x_4&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad-\Bigg\{-\frac{4p}{3}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}-\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\\ &\quad-2q\Bigg(-\frac{2p}{3}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}+\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{2p^3-72pr+27q^2}{54}-\frac{\sqrt{3(128p^2r^2-144pq^2r+27q^4-16p^4r+4p^3q^2-256r^3)}}{18}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg] \end{align*}
最後に,
\begin{align*} p&=\frac{8ac-3b^2}{8a^2},\\ q&=\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3},\\ r&=\frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4} \end{align*}
を代入します。
やはり「解の公式」といえば,元の方程式 $(1)$ の係数で解を表したいですよね^^!
\begin{align*} x_1&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[-\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad+\Bigg\{\frac{3b^2-8ac}{6a^2}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\\ &\quad+\frac{b^3-4abc+8a^2d}{4a^3}\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg]\\ x_2&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[-\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad-\Bigg\{\frac{3b^2-8ac}{6a^2}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\\ &\quad+\frac{b^3-4abc+8a^2d}{4a^3}\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg]\\ x_3&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad+\Bigg\{\frac{3b^2-8ac}{6a^2}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\\ &\quad-\frac{b^3-4abc+8a^2d}{4a^3}\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg]\\ x_4&=-\frac{b}{4a}+\frac{1}{2}\Bigg[\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{\frac12}\\ &\quad-\Bigg\{\frac{3b^2-8ac}{6a^2}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}-\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\\ &\quad-\frac{b^3-4abc+8a^2d}{4a^3}\Bigg(\frac{3b^2-8ac}{12a^2}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}+\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}+\sqrt[3]{\frac{2c^3-72ace+27b^2e+27ad^2-9bcd}{54a^3}-\frac{\sqrt{3(-256a^3e^3+192a^2bde^2+128a^2c^2e^2-144ab^2ce^2+27b^4e^2-144a^2cd^2e+6ab^2d^2e+80abc^2de-18b^3cde-16ac^4e+4b^2c^3e+27a^2d^4-18abcd^3+4b^3d^3+4ac^3d^2-b^2c^2d^2)}}{18a^3}}\Bigg)^{-\frac12}\Bigg\}^{\frac12}\Bigg] \end{align*}
はい,メッチャ長い式になりました。
…ちょっとヤケになっている部分もあります(笑)
このブログで,どのくらい長い式が書けるのかの実験もかねて,4次方程式の解の公式を係数で表してみました。
これだけ長い式が書けるなら今後困ることはありませんね^^

おわりに

以上,4次方程式の解の公式をご紹介しました。
ぜひ,3次方程式の解の公式の記事もあわせて読んで,解の公式発見の歴史の一部を学んでみてください。
中高生がこれを読んで,数学・数学史へ興味を持ってくれたら嬉しいです。
3次・4次と来たので次は5次方程式か?と思われるかもしれませんが,5次以上の方程式に対しては,ここでご紹介したような形の「解の公式」は存在しないことが証明されています。
「解の公式」が存在しない証明ってどうやるんだ?など,疑問・興味がわいた方はご自身で学習を進めてみてください。
いつか,私もブログの記事にするかもしれません^^
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