大島学習塾のブログ

　
まずは用語の確認です。

有理数とは、整数 $m$ と自然数 $n$ を用いて、$\dfrac{m}{n}$ と表される数全体のことです。この表示は一意的ではありません。例えば、$\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$ です。$\dfrac32$ のように、それ以上約分できない分数を既約分数といいます。

有限小数とは、$0.5$ や $1.234$ などのように、小数で表したときに小数点以下有限の位で終わる数のことです。

有限の位で終わらない小数は無限小数と呼ばれています。 無限小数には、 $$ \frac{6}{11}=0.54545454\cdots $$ のように、同じ数字の列（この場合は $54$）が繰り返し現れるような循環小数と、 $$ \pi=3.14159265\cdots $$ のように、同じ数字の列の繰り返しにならない非循環小数があります。

有理数を小数で表したとき、有限小数かまたは循環小数になることが知られています。そのことの証明も重要ですが、今回のテーマからは話がそれてしまいますので割愛します。いずれこのブログの他の記事で証明するかもしれません。

今回のテーマはこれです：
[命題] 有理数が有限小数で表されるための必要十分条件は、既約分数で表したとき分母の素因数が $2$ と $5$ のみとなることである。

[証明] 有理数 $r$ が有限小数で表されているとする。$r$ が小数第 $k$ 位までで終わる（小数第 $(k+1)$ 位からは $0$ となる）とすると、$10^k\times r$ は整数となる。この整数を $m$ とすると、 $$ r=\frac{m}{10^k} $$ と表される。この分数を約分した場合、分母には $2$ と $5 $ 以外の素因数は現れない。
逆に、有理数 $r$ を既約分数で表したときの分母が $2^k 5^l$（$k$，$l$は非負整数）と表されるとき、$m=\max(k,l)$ とすると、$10^m\times r$ は整数となるので、$r$ は高々小数第 $m$ 位までしか $0$ 以外の数字を持たない。すなわち有限小数で表される。■

分母の素因数に $2$ と $5$ のみが許されるのは、十進法で数を表していることに起因します。興味がある方は、十進法以外でも同様の条件を考えてみてください。